El margen de una apuesta (y 4/4): Conclusiones

ver parte 3 de 4

Como en cualquier texto científico, cualquier trabajo con una extensión reseñable tiene un apartado final de conclusiones. En este apartado, como en el final de los buenos libros, se presenta el resumen y la resolución de toda la trama. Las conclusiones que extraigo de las partes anteriores (el que no quiera no necesita leérselas, ya que no dejan de ser una justificación) son las siguientes:

• El margen, por lo general, es una función monótona que disminuye cuanto mayor sea la probabilidad de éxito de una apuesta, o dicho de otra forma, si las cuotas están asignadas de forma correcta, cuanto más pequeña sea la cuota, menor es el margen. En el caso de las casas de "peer to peer" como Betfair la función margen es lineal y toma valores entre 0% y la comisión máxima del mercado (5% en el caso usual, pero también puede ser del 1% en mercados especiales como los asians). En el caso de las bookies convencionales, el margen toma valores muy superiores. La comisión en la mayor parte del intervalo de probabilidades es de 3-4 veces superior a la que aplicaría Betfair. (hacer click en la imagen para ampliar)

• En las casas de apuestas convencionales, como en las cuotas decimales sólo se usan 2 decimales debido al límite de la unidad de moneda mínima (céntimos), las apuestas con probabilidad superior al 99% tienen un margen negativo (a favor del apostante). En este caso, algunos bookies (bet365 y sportingbet) han tomado 2 soluciones alternativas: asignar cuotas de @1,00 ó aumentar el número de decimales a 3. Sin embargo el problema del centimeo para el bookie es un problema menor ya que aprovechar esta debilidad por si misma de forma sistematizada es una actividad de alto riesgo, dado que para conseguir rentabilidades satisfactorias habría que arriesgar una gran cantidad de capital. (hacer click en la imagen para ampliar)

• Las casas convencionales en ocasiones asumen riesgos en sus mercados ya es habitual que no se igualan todas las opciones de un mercado, mientras que una casa de P2P no participa directamente en el mercado, por lo que es imposible que pierda dinero. En este caso, el mayor riesgo que afrontan los bookies tradicionales se produce con las cuotas altas, ya que un error de asignación para un gran dog puede ser mucho más costoso que un error en la asignación de una cuchicuota. Por este motivo, los grandes dogs están muy penalizados por las casas de apuestas convencionales, y como en cualquier actividad económica, la existencia de mayor riesgo está acompañada de mayor rentabilidad para el bookie. En la gráfica siguiente se observa el cociente de márgenes entre una casa convencional y una de P2P. Una casa de P2P puede llegar a ganar con un gran dog hasta 20 veces más que una casa de intercambio, para compensar de esta forma el riesgo que asume. (hacer click en la imagen para ampliar)

El margen de una apuesta (3/4): Bookies de P2P

ver parte 2 de 4

Las casas de P2P (peer to peer) o de intercambio (exchange) son aquellas en las que el bookie (si se puede llamar así) actúa como intermediario de las operaciones. En principio no asume ningún riesgo, lo que le permite poder ser más amigable con sus clientes y ofrecer mejores cuotas. O, mejor dicho, ofrece cuotas todo lo buenas que los usuarios que hagan de contraparte estén dispuestos a asumir y se limita a penalizar al ganador con una pequeña comisión en concepto de "servicio prestado". La casa P2P más conocida es Betfair. Hay muchas más y todas funcionan de forma similar, con tarifas parecidas. La gran diferencia es la profundidad de sus mercados. Cuanto más dinero se mueva, mejor será el mercado por lo general. En un mercado en el que no exista una competencia suficiente, difícilmente se alzanzarán cuotas competitivas. Aquí sí se cumple el principio de cuanto más grande, mejor.

La comisión que aplica por lo general Betfair a un usuario común es del 5% de las beneficios brutos en cada apuesta ganadora. Estas tarifas pueden sufrir reducciones en el caso de que el apostante genere movimientos suficientemente grandes como para participar de los programas de descuento de Betfair, o bien por participar en mercados especiales con comisiones reducidas como los Asians de fútbol (1% de comisión). Claro que esta comision del 5% no es exactamente lo mismo que el margen, desde el punto de vista del apostante, tal como lo he definido yo (ver parte 1/4), ni el margen en términos de incremento de probabilidad (ver El margen de la casa en términos de incremento de probabilidad). He visto como en otros foros este tema provocaba cierta confusión.

Ejemplo: Partido de fútbol 1 @3 X @3 2 @3, cuotas de Betfair.

Las cuotas son las de un juego justo
C(1) = C(X) = C(2) = Cb = 3
P(1) = P(X) = P(2) = P = 1/3
VE {valor esperado} = P · C = 3 · 1/3 = 1

Pero estas cuotas son brutas, no descuentan la comisión de Betfair. Para poder compararlas con las cuotas de una casa de apuestas convencional deberíamos descontar las comisiones de todos los beneficios potenciales. Tomaremos el 5%.
Cn = ((Cb–1) · 0,95) + 1
= ((3–1) · 0,95) + 1
= 2,9

Una vez hecho esto es posible calcular el margen en términos de incremento de probabilidad:
P* = 1/2,9 + 1/2,9 + 1/2,9 = 103,45 %

Y también es posible calcular el margen que se aplica en cada apuesta realizada de forma individual, que es el mismo en los tres casos (1, X ó 2):
margen = 1 – 2,9/3 = 3,33%


Si extendemos este razonamiento para cualquier apuesta individual a cualquier cuota, y suponiendo que el mercado es justo y no se produce el efecto del centimeo, el margen se expresaría de esta forma:

Margen = 1 – [P • (0,95•BB + 1)]
= 1 – [1/Cb • (0,95 • (Cb–1) + 1)]
= 1 – (0,95 + (0,05/Cb))
= 0,05 • (1– (1/Cb))

Nótese que en este caso P=1/Cb no es una aproximación. Se cumple siempre que el evento esté perfectamente evaluado ya que las cuotas de una casa de P2P son juegos justos si despreciamos el efecto del centimeo y el mercado es suficientemente profundo.

El margen es despreciable para el caso de cuchicuotas y aumenta progresivamente para el caso de los grandes dogs, donde alcanza un valor que en su máximo tiende al 5%.

A diferencia de las casas convencionales, la existencia de back y lays posibilita una flexibilidad mayor en el intervalo de cuotas correspondientes a las cuchicuotas (o chiquicuotas, como alguien ha adaptado este término en algún sitio). Y en este caso, para eventos de favorito muy claro no existe cuota mínima @1,01 sino que llegado a este punto pueden ofrecerse lays a cantidades superiores a @101 para cubrir cualquier opción (ver tabla de back/lays). Por tanto en Betfair nunca se dará este margen negativo por efecto del centimeo, como pasaba en las bookies tradicionales. Sin embargo no se puede considerar que en una casa de P2P se mitigue totalmente dicho efecto en otros intervalos de cuotas, como comentaré en una próxima ocasión.

ver última parte (conclusiones)

El margen de una apuesta (2/4): Bookie tradicional

ver parte 1 de 4

El objetivo de esta parte es demostrar como en el margen de cada pick cambia según la probabilidad de que esa opción resulte ganadora. Intuitivamente, con solo comparar las cuotas de un gran dog en una casa de apuestas convencional con las cuotas para el mismo pick en Betfair, podemos llegar a la conclusión de que el bookie penaliza mucho al dog. Pero ¿cuánto? En esta entrada expongo los cálculos y los supuestos que he considerado para calcular de una forma bastante rigurosa la relación margen/probabilidad. Podría haber colocado directamente la gráfica y pediros que os lo creyeseis, pero me parece más serio dedicar una entrada completa a destripar mi forma de razonar el problema.

Utilizo estos supuestos:
--> Voy a considerar que las casas evalúan correctamente la probabilidad de los eventos. Es decir, que no cometen errores de asignación de cuotas.
--> También voy a considerar que la función es monótona con pendiente negrativa. Esto podría demostrarse con un razonamiento de "utilidades". El bookie asume un riesgo mayor para los eventos menos probables, ya que la cuota de estos eventos es superior, por lo tanto es razonable que espere obtener mayores beneficios de un dog a cambio de ese riesgo. Y esto se aplica a todas las parejas de puntos.

Defino P* como la estimación de la probabilidad de éxito del pick que realiza el oddsmaker:
P*=P

Ó lo que es lo mismo:
P=1/C

que en los casos generales es una aproximación bastante aceptable.

Una vez establecidas estas premisas, me dispongo a calcular el margen de varios eventos con diferentes probabilidades.

PUNTOS 1 y 2) Surebets

La cuota mínima en la mayoría de bookies es 1,01 (aunque en ocasiones se han visto cuotas inferiores, como por ejemplo en Bet365 y en Sportingbet, donde apuran un decimal más para erradicar el efecto del centimeo) y viene dada por la unidad monetaria mínima (0,01 €). Si deciden cubrir un suceso que tiene una probabilidad de cumplirse mayor de 0,990099009900... la casa de apuestas tendría que tener un margen negativo. En el caso más desfavorable sería para cubrir un suceso seguro (surebet; “tongo”). También tenemos que para un suceso imposible toda la cantidad apostada coincide con el margen de la casa de apuestas, dado que la cuota siempre será una cantidad finita. Concluyendo:

Margen (P=0 ó suceso imposible) = 100%
Margen (P=1 ó surebet) = -1%

PUNTO 3) Hándicaps 50%

Sean 2 sucesos A y B donde incompatibles, equiprobables y cuya unión es el suceso seguro. Por ejemplo, la cara o la cruz al lanzar una moneda al aire.

Por los axiomas de probabilidad
P(A)=P(B)
P(A) + P(B) = 1
P(A)=P(B)=0,5

Y por la definición de margen que he dado:
P(A)=P(B) --> Margen (A) = Margen (B)
Margen (A) = Margen (B) = 1 – (C • 0,5)

Para este tipo de sucesos (muy habituales en las apuestas de handicap), lo más general es que la cuota valga @1,85. En Bet365 por ejemplo los hándicaps por lo general valen @1,83. En Bwin para apuestas en las que consideraban que no estaban bien preparados llegaban a ofrecer @1,80. En deportes con gran mercado, algunas casas de estiran y ofrecen @1,90. Pero tomaremos el caso más habitual.

Para C=1,85:
Margen (P=0,5) = 7,5%

PUNTOS 4 y 5) Juego justo a favorito

Sean 2 sucesos A y B con cuotas @1,01 y @14,20 respectivamente, incompatibles y cuya unión es el suceso seguro. Esta es la cuota que una casa ha propuesto para un partido de Federer en pista dura. En una casa de P2P como Betfair, el dog podría pagarse a más de @50, pero en una casa de apuestas tradicional difícilmente vamos a ver que se estire hasta ese punto. También podemos encontrar que las cuotas del dog varién según la casa y evento, pero tomaremos el valor de @14,20 como estandar.

Como para eventos muy probables el margen es negativo por efecto del centimeo y para una apuesta común es positivo, y siendo la función monótona, por el Teorema de Bolzano, sabemos que tiene que haber un punto en el que el margen es nulo. Es razonable pensar que en dicho punto, la cuota asignada sea @1,01 ya que la existencia de los margenes negativos es debida al centimeo.

Supongamos que la cuota del favorito es justa:
P(A)=1/cuota(A)=0,9901
Margen (P=0,99) = 0%

14,20 • P(B) = 14,20 (1-0,99) = 0,14
Margen (P=0,01) = (1-0,14) • 100 = 86%

Para calcular los siguientes puntos no utilizo un razonamiento tan estricto como anteriormente y usaré un supuesto un tanto "artifial" (asigno un margen mínimo prácticamente aleatorio que le gustaría obtener al bookie en cualquier apuesta), pero el resultado utilizando dichos puntos me parece bastante más realista que los obtenidos con interpolar simplemente los anteriores, ya que en la parte del dog no teníamos suficientes puntos.

PUNTOS 6 y 7) Margen mínimo deseable

El margen de A nunca podría ser superior al 7,5% ya que eso presentaría incoherencias con respecto a la monotonía. El margen máximo de las casas P2P es del 5%, así que parece razonable que una casa convencional no quisiera obtener un margen inferior a ese, por muy pequeña que sea la cuota. Supongamos que el margen de A es del 5% y determinaremos la probabilidad máxima que permite este margen:

P(A) = [1-margen(A)] / C(A) = 0,95 / 1,01 = 0,94
Margen (P=0,94) = 5%

Para probabilidad mayor, por la limitación de la cuota mínima la casa no le sería posible obtener un margen superior. El complementario de dicha cuota @1,01 con margen máximo sería:

C(B) • P(B) = 14,20 • (1-0,94) = 0,83
Margen (P=1-0,94=0,06) = (1-0,83) • 100 = 17%

ver parte 3 de 4

El margen de una apuesta (1/4): Definición

(Esta serie dedicada al margen de una apuesta está siendo publicada en Soloapuestas, aunque el proceso de publicación se ha visto interrumpido ya que el transcriptor está buscándo términos lingüísticamente apropiados para tecnicismos como cuchicuotas. Ignoro si será reanudado. Por lo demás, lo cuelgo en mi blog para que los interesados puedan ver las conclusiones y que el trabajo quede archivado de forma ordenada, como hago con el resto de mis entradas, para ser consultadas y examinadas en el futuro.)

A muchos les parece que es muy sencillo mantener unos ratios de acierto suficientemente elevados para construir una pequeña fortuna personal. Pero bueno… Hay cosas más fáciles. Por ejemplo es más fácil ser una empresa que acepte apuestas (bookie). Es sencillo, aceptemos apuestas en las que tenemos ventaja y así podremos satisfacer la publicidad de la camiseta del Barça, los anuncios en Eurosport y los onerosos impuestos del Gibraltar de turno. Tal vez tengamos que pagar sueldos a algún empleado, pero también es cierto que podemos directamente copiar las cuotas de otras bookies y ahorrarnos gastos en recursos humanos. Si algún fenómeno nos saquea utilizaremos una política “personalizada”. Son personas “non gratas”. Limitaremos el importe máxima de sus apuestas de forma más agresiva que lo habitual, retrasaremos sus pagos, no le dejaremos loguearse de vez en cuando, etcétera. Estos no son los clientes que nos interesan…

¿Pero de dónde sale tanto beneficio? Acaso los mejores tipsters son los empleados de las casas de apuestas como oddsmakers. Nada que ver con eso. Es más, conozco personalmente el caso de un par de oddsmakers, que lo han sido en el pasado, e incluso de alguno que quiere serlo en el futuro, cuya valía como tipsters es más que dudosa.

La casa juega con 2 ventajas principales. En primer lugar nos oculta una información muy importante que es la cantidad de dinero que hay apostada para cada opción de las apuestas y la que ha habido en el pasado. Esa información y el uso de técnicas estadísticas facilita a sus empleados la asignación de cuotas que coincidan con la opinión del mercado (otra cosa es que algún oddsmaker desetime estas posibilidades por pura pereza). Alguien podría decir que esto no sucede así con todos los bookies y que por ejemplo Betfair si permite conocer con mucha exactitud cómo se ha movido el dinero y las posiciones existentes. Pero en este caso todas las apuestas están igualadas entre usuarios. La existencia de un gran movimiento en un sentido implica una contrapartida en el contrario, mientras en una casa tradicional no tiene por qué ser así necesariamente. Pueden cerrar las apuestas sin haberlas cuadrado perfectamente, de forma que el bookie asume un riesgo. Es decir, la casa puede perder dinero en una apuesta concreta. Y de hecho les sucede con relativa frecuencia, sobre todo en apuestas marginales y minoritarias.

Una vez conseguido esto nos proponen unas cuotas ventajosas para la casa, que de forma indirecta se reserva un pequeño margen o comisión, lo mismo que si fueran un niño de 12 años vendiendo papeletas de lotería para su viaje de estudios. Vamos a estudiar un poco más en profundidad el concepto de margen, desde el punto de vista del apostante.

Quiero puntualizar una cosa. Como ya comenté en una entrada anterior, existe un concepto universalizado para el margen de las cuotas en términos de incremento de probabilidad, que siempre es positivo, y que sirve para dar una idea de cuánto graba cada bookie todas las proposiciones de una apuesta de forma global. Pero esta comision no se distribuye de forma equitativa entre las opciones. Parte del objeto de estudio de estos artículos es discernir qué tipo de apuestas están más castigadas en función de su probabilidad de éxito.

El margen de una apuesta es la diferencia entre el valor esperado de una apuesta justa y el valor esperado de la misma apuesta con la cuota que le asigna la casa de apuestas. En una apuesta justa, la esperanza es obtener como reintegro la cantidad apostada. Por tanto, el margen seria:

Margen (%) = (1 – C•P) • 100

Siendo
C=cuota del evento propuesta por la casa de apuestas
P=probabilidad de éxito de la apuesta

Evidentemente, P es desconocida. Eso puede dar lugar a que en ocasiones la casa valore mal el evento y ofrezca márgenes negativos (a favor del apostante). Pero este no será el caso general. Además aun es ese caso la casa podría obtener beneficios si el mercado toma como buena la estimación que realiza la casa y distribuye sus apuestas de forma iersamente proporcional a las cuotas y no a la probabilidad real del evento.

ver parte 2 de 4

El margen de la casa en términos de incremento de probabilidad

Durante estos días en Soloapuestas se está sacando un artículo mio bastante interesante sobre el margen de una apuesta desde el punto de vista del apostante. Este es un concepto novedoso y muy rico, que permite analizar la rentabilidad que ofrece apostar a las apuestas según su probabilidad, ya que no todas las opciones de una apuesta están igualmente castigadas. Un apostante, por lo general, sólo apuesta a una opción de las que le permite una apuesta. Dicha opción, siempre que el bookie haya estimado bien su probabilidad le reportaría un retorno inferior al que debería, por lo que su esperanza matemática en el juego es la de perder dinero. La diferencia entre su esperanza matemática y el reintegro de lo apostado es el margen de la casa, en términos absolutos.


Sin embargo, existe otra forma de contemplar el margen; desde el punto de vista de la casa de apuestas. En este caso, se ha popularizado una forma de calcular el margen no en términos pecuniarios, sino de incremento de probabilidad. No le dedicaría gran cosa si no fuera por lo pesado que se ha puesto hoy un muchacho en los comentarios de la entrada anterior. Como también tiene otra aplicación que es interesante por lo menos conocer, he decidido abordar el tema sobre la marcha, aunque mis planes para hoy era analizar un evento deportivo en el que consideraba que había un error en la valoración del mercado… Pero todo no se puede. Y hoy ha tocado el día de las inquietudes matemáticas. Todo sea por los lectores...

Sea un evento con un número de opciones n, que son incompatibles y su unión es el suceso seguro. Cada opción tiene asociada una cuota Ci. Como vimos en la entrada de cálculo de la cuota equivalente, se podría calcular la probabilidad equivalente de cada suceso en el supuesto de ser un juego justo de la forma:

P*(suceso seguro) = 1/C1 + 1/C2 + … + 1/Cn

Si el juego es justo, por los axiomas de probabilidad:

P*(suceso seguro) = 1

Pero en los juegos que nos propone un bookie, P* > 1 siempre. Una probabilidad nunca puede ser mayor que 1 por axioma y no podemos empezar a aplicar propiedades de probabilidad alegremente, pero lo cierto es que todo va a funcionar bien ya que para los efectos es como si estirásemos el dominio de la probabilidad. Su dual, que es la cuota, sufre el efecto inverso. Y aunque sabemos que

C(suceso seguro) = 1
P*(suceso seguro) = 1 / C*(suceso seguro)
P*>1 --> C*<1

C* no es la esperanza. Es la cuota del retorno exacto que obtendríamos apostando a todas las opciones, ya que el dinero se ha balanceado entre dichas opciones de forma adecuada para obtener el mismo retorno sea cual sea el resultado. Por tanto el margen en términos absolutos de la casa con todas las opciones de una apuesta sería:

Margen(bookie) = Total apostado • (1–C*)

Sin embargo, se suele utilizar otra expresión, el margen de la casa en términos de incremento de probabilidad:

P(suceso seguro) = 1
P*(suceso seguro) = 1/C1 + 1/C2 + … + 1/Cn
MargenP(bookie) [%]= (P(suceso seguro) – P*(suceso seguro)) * 100

Incluso en muchas ocasiones se representa directamente P*. Ninguna de las expresiones anteriores tiene un significado real, ni especialmente aprovechable, pero se han tomado como válidas para comparar la calidad del mercado. En un mercado con:

P* = 100% --> el juego es justo
P* > 100% --> el juego es desfavorable
P* < 100% el juego es favorable (surebets)

Cuando más cercano esté del 100%, más próximas están las cuotas de un juego justo. Cuanto mayores sean las porcentajes, mas desfavorable es el global de las opciones.


Este es el partido Hantuchova-Medina celebrado hoy. No sabemos qué pronosticó el “asesor deportivo” ya que no estamos abonados, pero cuanto más avanzaba mi artículo peor se le ponían las cosas a la española. Podemos observar cómo en el mercado de los Backs, el P* es superior al 100%, concretamente de 101,2%. Aunque en principio las cuotas de Betfair en mercados profundos son justas, por efecto del centimeo no se suele producir y suelen tener un pequeño diferencial favorable al mercado. Si backeamos las dos opciones a la vez con la cantidad justa que nos proporcione el mismo retorno sea cual sea el resultado:

1 – 1/P* = 1 – (1 / (101,2%)) = 1,2%
El mercado (nuestra contrapartida) obtendría una surebet del 1,2%

En cambio, en la parte de los lays el P* es 94,3%. La parte del lay representa una surebet, por eso el mercado no layea esas apuestas. En esa parte rosa (Lays) hay usuarios que han dejado unas apuestas pendientes (que son backs para ellos) esperando contrapartida en el mercado, pero las cuotas son demasiado altas para que nadie las acepte. Si en la parte de los lays P* fuera mayor que 100% se podría conseguir una surebet layeando las dos apuestas en su cantidad justa a la vez. Y dicha surebet desaparecería con rapidez.