Curvas isostake

Tal como se explicó en la entrada anterior, una buena medida de la calidad de un pick es su stake óptimo según Kelly, considerando la reiteración de la misma apuesta y reinvirtiendo. Si para dos picks Kelly aconseja la misma cantidad a invertir, podemos resumir que su valor es aproximadamente igual. Uniendo estos picks por una misma linea obtenemos las curvas isostakes.

Para tabular el stake de la mayoría de los picks, se pueden considerar las siguientes gráficas, que aconsejo imprimir y observar detenidamente a cualquiera que esté interesado en la asignación correcta de stakes.

Cuota estimada: entre @3 y @8

Cuota estimada: entre @1,5 y @3


Cuota estimada: entre @1 y @1,5


El tipster debe esforzarse en intentar calibrar la cuota que él piensa que debería de ser la correcta y a continuación compararla con la cuota que le ofrece el bookie.

• Si la cuota ofrecida por el bookie es inferior a la que él estima correcta no debería apostar.
• Si la cuota ofrecida por el bookie es superior, debería de apostar el stake correspondiente a la intersección de ambos valores en los ejes coordenados
• Si la cuota ofrecida por el bookie es muy superior nos encontraríamos con una situación complicada, debido a que la fracción de Kelly es un valor que tiene sentido en el largo plazo. A un único pick extraordinariamente bueno no se le puede asignar el mismo stake que en una situación en la que tuviésemos una disponibilidad ilimitada de picks del mismo valor o superior. Si no es el caso, la asignación de stake debería de encontrarse a caballo entre la fracción de Kelly y el stake óptimo correspondiente a nuestro yield y nuestro tipo de cuota más habitual (alta, media o cuchicuotas), es difícil encontrar su ubicación exacta. Siendo conservador, asignar el full stake sería una buena idea.

La tabulación de las curvas iso-stake no es única. He intentado que la asignación de stakes fuese conservadora (por razones psicológicas y por incapacidad práctica de la mayoría de tipsters). Lo que tiene que quedar claro es que a dos puntos de la misma curva se les debe de asignar el mismo stake. Este puede ser el propuesto por la leyenda de las gráficas o superior, siendo a lo sumo igual que la fracción de Kelly. En los stakes más altos he aplicado una reducción mayor (llegando a Kelly/4 porque es la zona donde podemos encontrarnos con el peligro del overbetting). No hay que olvidar que cualquier apuesta única, por muy valiosa que sea, debe tener un stake coherente con nuestro yield, como se señaló en la entrada correspondiente.

Las buenas apuestas

Una vez que hayamos determinado el full stake adecuado para nuestra forma de apostar y nuestro yield, nos encontramos con el problema de calcular el stake concreto para cada apuesta que realizamos. Este es un problema típico de las apuestas, que en las inversiones financieras prácticamente no se considera, y del que no tenemos literatura, por una simple razón: calcular el value de una inversión es mucho más complicado. Un dealer puede realizar una compra de una cantidad determinada de acciones, sin saber cuándo podrá vender, ni a qué precio; cree que van a subir, pero tal vez bajen… No sabe la como se va a desarrollar la coyuntura internacional, si subirán los tipos o el petroleo, tampoco sabe si los rectores de la empresa de la que participa están simulando una situación ficticia para beneficiar a sus propios intereses privados. No sabe lo que quieren hacer los grandes inversores, los "tibus", ni sabe cuándo alguien va a a lanzar una OPA, ni sobre qué.

En una apuesta la información está mucho más determinada: conocemos exactamente los payoffs posibles, el día de resolución de la apuesta y en ocasiones incluso tenemos datos estadísticos suficientes de cada equipo para realizar estimaciones bastante buenas de la cuota correcta. Incluso sin estos antecedentes, para un tipster bien entrenado y especializado en un deporte también le es posible detectar con bastante exactitud los values.

Una vez hice un experimento con un conocido tipster de fútbol español. Le planteé las cuotas de una jornada de Liga que acababa de salir y en todos los partidos excepto en uno supo determinar el favorito y su cuota con un margen de error máximo de 0,10 unidades de cuota. De hecho, en el partido en el que la discrepancia excedió ese margen, él mismo me advirtió antes de conocer el resultado del experimento que la percepción del mercado iba a ser bastante distinta a la suya en esa apuesta. Es decir, sin ni siquiera conocer las cuotas, había sido capaz de determinar cuál iba a ser el partido en el que iba a encontrar valor (!!), ya fuese por lesiones, sanciones o motivos psicológicos.

Recapitulemos. Hemos determinado un full stake, digamos del 10% de nuestro bankroll (aunque puede ser diferente según nuestro rendimiento a largo plazo). Ese es el riesgo que pensamos correr a lo sumo en nuestra mejor apuesta. El siguiente paso es intentar ponderar nuestras apuestas dentro de ese rango. Las apuestas que realicemos serán mayores que 0 y como mucho iguales al full stake.

Las mejores apuestas van a tener un mayor stake. ¿Y qué es ser mejor? ¿Las de menor cuota? ¿Las de mayor value? ¿Las del conocido prohombre de mente preclara que baña su sesera en el Ebro para estar más cerca de Dios? No. Las mejores apuestas son aquellas que tengan una mejor función crecimiento (para una respuesta más diáfana, leer la conclusión de esta entrada). Esta función fue ideada por Kelly en su “A New Interpretation of Information Rate", que incluyo en la bibliografía. Este texto usa lenguaje matemático y el desarrollo de sus ideas, entre logaritmo y logaritmo, le resultaría farragoso hasta al propio Antonio Puchal, uno de los últimos gurús del programa "Cifras y Letras".



No es este el momento de destripar a Kelly, aunque ese momento llegará, pero es inevitable comentar algo. La función crecimiento está basada en las mismas premisas que en mis razonamientos usando teoría de la decisión para calcular el stake óptimo. Sabiendo que en el largo plazo, la probabilidad coincide con la frecuencia, es posible calcular el stake óptimo de una misma apuesta repetida indefinidamente. Su fórmula adaptada a nuestra jerga, puede expresarse como:

Kelly% = value% / (cuota – 1)

Donde:
Value% = [(cuota / estimación de la cuota correcta) – 1] • 100

Es decir, el porcentaje de bank óptimo a emplear en cada apuesta es proporcional al value e inversamente proporcional a su beneficio potencial.

A partir de aquí podremos iniciar un razonamiento de tipo gráfico que nos sirva para tabular el stake de cada apuesta, atendiendo a estos motivos y basándonos en la siguiente premisa: una apuesta es igual de buena que otra si su stake óptimo coincide.

Full stake

El full stake es el porcentaje de nuestro bankroll que utilizaremos en nuestra mejor apuesta. Y esto es una norma. Una norma que en principio no nos deberíamos de saltar nunca, aunque puede haber ocasiones en las que un tipster intrépido puede hacerlo y no está mal. Pero serán las menos. Una vez cada varios meses tal vez.

Por lo general en los foros de apuestas y en los libros especializados se recomienda un full stake de entre el 4 y el 10%. Obviamente el 4% es un porcentaje muy bajo y corresponde al riesgo que toman grandes grupos de negocio conservadores, tales como bancos y otras entidades financieras. Para este tipo de inversores su prioridad no es optimizar su rendimiento, sino minimizar el riesgo de que su gran volumen de trabajo se ponga en peligro, probablemente porque dicho volumen es un factor estratégico. Esto también podría ser así para un apostador profesional de grandes volúmenes. El 10% por otra parte es bastante alto y sólo debería de ser asumido por un inversor que sea capaz de soportar drawdowns importantes y la tensión sicológica que esto significa, aparte por supuesto de tener un yield elevado.

Esta horquilla porcentual casi nunca se justifica por los autores, pero los que ya me conocéis, yo soy muy aficionado a intentar justificar todo. Por mi experiencia y como ya expliqué otra vez, el yield de un tipster razonablemente bueno se mueve entre el +5% y +10%. Un tipster que consiga llegar al +15% ya podemos considerarlo muy bueno y si consigue pasar del +20% estamos hablando de un tipster excepcional. Sin embargo, los números particulares de los tipster suelen ser algo inferiores a los que reflejan las apuestas recomendadas por ellos mismo en foros y servicios webs, ya que asumen otras apuestas marginales de peor calidad.

En la siguiente gráfica se puede comprobar la curva de rendimiento de un tipster con un 50% de acierto (que es el orden de acierto de un apostador de handicap asiático de fútbol) y diferentes medidas de yield, calculadas según el criterio del stake. Los problemas de gestión son problemas de planificación a largo plazo. En el corto plazo está el value subjetivo de una apuesta concreta, pero en el largo lo único que tenemos más o menos fiable y realista es nuestro yield histórico. Como se puede comprobar, en el rango de yields razonables, obtenemos los mejores resultados entre un 3% y un 8% de riesgo. Por supuesto que para yields altos el valor óptimo está ligeramente por encima, pero vuelvo a reafirmarme en que la curva de rendimiento es parabólica y debemos evitar estar a la derecha del punto óptimo, donde el rendimiento va a decrecer más rápidamente. Por ejemplo, el stake óptimo para un tipster sublime que asegure un yield del +20% llega al 14% del bank, pero con ese riesgo cualquier persona normal está haciendo overbetting, está a la derecha del punto de rendimiento máximo y obtiene rendimientos bajos (que podría conseguir con mucho menor riesgo) o incluso pérdidas.


Quiero señalar algo importante. Alguien con rendimientos bajos, aunque sean positivos, debe ajustar su full stake a ese rendimiento. Por ejemplo se observa que para alguien que acertase el 50% de apuestas a cuota @2, y que en principio tiene yield nulo, perdería dinero si sigue un sistema antimartingale, que es el único sistema con el que conseguimos crecimiento exponencial. Su rango de overbetting empezaría a partir del stake = 0% del bankroll, lo cual es algo un poco desalentador. Esto es un punto importantísimo y nos da una idea de el sitio en el que son de aplicación los 2 tipos de sistemas: martingale y antimartingale.

También quiero señalar el segundo factor que influye en el cálculo del stake, aparte del yield (o el value), como comenté en la entrada anterior: el porcentaje de acierto. A igualdad de yield, es preferible aquel yield que se consiga con mayor acierto. ¿Por qué? Porque en los sistemas antimartiganle hacemos reinversión y cuanto más alto sea el valor promedio de nuestro bankroll, mayor es nuestro crecimiento exponencial. Los drawdowns que acompañan inevitablemente a un tipster que apueste a cuotas altas disminuyen el valor promedio del bank y ralentizan nuestro crecimiento. Nótese que en el gráfico el rendimiento alcanzado es sobre 4 apuestas, por lo que no es comparable con el gráfico anterior en cuanto al rendimiento, aunque el punto óptimo y la zona de overbetting sí sean perfectamente comparables. Para los efectos es la misma gráfica estirada en la dirección del eje vertical.


Como se observa en el gráfico, para un apostante que esté muy acertado con las cuotas medias-bajas, el problema del overbetting prácticamente desaparece. ¿Quiere decir esto que es mejor apostar a cuotas bajas? No necesariamente. Esto es suficientemente importante como para ser explicado en una entrada completa, pero digamos que tener un yield alto es mucho más complicado cuanto menor sea la cuota promedio a la que apostamos.

Definición de stake

El stake es el método que se ha popularizado en los foros de apuestas para determinar la calidad de un pick. Y aunque el uso haya generalizado este “modus operandi”, a mí no me parece ni muchos menos la mejor forma de detallar la fiabilidad y la calidad de un pick, por muchas razones. En el futuro comentaré los diferentes sistemas que existen para el mismo objetivo con sus ventajas e inconvenientes.

Pero centrándonos en el concepto stake, tiene un grave problema para la aplicación que se le da. Y ese problema es que la mayoría de la gente que pone picks (asesores incluidos) no tienen ni repajolera idea de lo que significa el concepto stake, me refiero en particular a los apostadores que usan un stake muy parecido para todos sus picks. Stake es una palabra extranjera y difusa, por lo que da lugar a interpretaciones varias, que no hacen más que distorsionar la convergencia de criterios. Voy a poner unas cuantas definiciones extraídas de foros y tags y proporcionadas por usuarios veteranos que se suponen versados en la materia:

“Es stake se pone según la probabilidad de acertar el pick. Un pick con un 51% de probabilidades de acertar tiene stake 5. Los picks que se dan de menos stake tienen que tener cuota mayor que @2”.

“Es el nivel de confianza que el apostante concede a una apuesta que el realiza.”

“Es el barómetro para medir lo que una desviación grande o pequeña lo pone cada uno. Yo suelo considerar 5% de diferencia entre cuota =stake 1/10 y del 50% stake 10/10.”

“Yo no pongo stakes porque todas las apuestan son igual de buenas. Si queréis poner un stake le dais 9,99 a cada uno”.

De comentarios como los anteriores, uno sólo puede pensar que nadie sabe lo que es el stake, que cada uno lo usa de una forma muy diferente y que como consecuencia el stake con el que muchos usuarios asignan a sus picks es totalmente irrelevante e inservible para el resto de usuarios.

¿Qué es el stake? No quisiera dar una definición demasiado estricta, pero es evidente que el stake, desde el sentido de su traducción literal y el empleo en los foros extranjeros, se refiere a dinero apostado, a la cantidad de dinero que empleamos en una apuesta. No tiene nada que ver, por ejemplo, con la “confianza”, son 2 cosas diferentes. Sin embargo, como todo el mundo no es igual de pobre, se da siempre en términos relativos. Tenemos un capital, un bankroll. Y sobre ese bank establecemos unos límites. El primero de esos límites es la apuesta máxima que deberíamos hacer (y que sólo deberíamos saltarnos en situaciones excepcionales). Esta apuesta muy rara vez tiene que superar un 10% de nuestros fondos, lo que tiene una explicación que ofreceré en la próxima entrada. Sobre ese límite que es un porcentaje de nuestro bankroll, tabulamos todas nuestras apuestas en base a 2 motivos:

• La probabilidad de acierto (como muchos han expuesto arriba en sus “poco acertados” comentarios, pero también…). A igualdad de cuota, mayor probabilidad implica mayor stake.
  
• La magnitud de la cuota (por supuesto). A igualdad de probabilidad, mayor cuota implica, mayor stake.

El objetivo de la tabulación es conseguir que las mejores apuestas tengan un peso mayor en nuestros resultados que las apuestas más flojas.

Análisis de decisión para estimar el stake óptimo de una apuesta en el largo plazo

Una vez que hemos comprobado que en el largo plazo es una certeza que la frecuencia y la probabilidad coinciden, podemos añadir esto como condición de contorno para nuestra toma de decisiones sobre la cantidad que deberíamos apostar en el ejemplo de la moneda que hemos abordado anteriormente.

Recordemos el enunciado:

Apuesta --> lanzamiento de moneda al aire
Proposición --> salir cara @3 / salir cruz @1,5
Opciones:
Apostar el 0% del bankroll o No-bet
Apostar el 10% del bankroll
Apostar el 25% del bankroll
Apostar el 50% del bankroll
Apostar el 100% del bankroll o All-in.


Evidentemente es imposible introducir como condición de contorno que la frecuencia de caras sea del 50% en un único lanzamiento, ya que es imposible que esto se dé. Así que probaremos con un número par: 2 lanzamientos. En ambos casos se dispone de un bankroll y de un juego de azar independiente el uno del otro, pero que son juegos idénticos. Luego es la misma situación para cada lanzamiento, por lo que el stake óptimo para uno, debería ser el mismo que para el otro. Se reinvertirá; se conoce el resultado del primer lanzamiento antes de ejecutar el segundo.

Para estos dos lanzamientos existen 4 estados de la naturaleza posibles:
C-C (cara en el primero y cara en el segundo lanzamiento)
C-+
+-C
+-+
Estos 4 estados tienen una probabilidad de darse del 25% cada uno y si aplicásemos Bayes obtendríamos el mismo resultado que cuando estudiamos el caso de un lanzamiento: cuanto mayor es la cantidad apostada, mayor es el retorno esperado.

Sin embargo, en el largo plazo es una certeza que habrá 50% de caras y 50% de cruces aproximadamente, por lo que si utilizamos para ponderar el juego la probabilidad de estos resultados porcentuales en el más largo plazo obtendríamos:

P (100% C) = P (100% P) = 0%
P (50% C-50% +) = 100%

Por lo que si queremos estimar el éxito del stake empleado en el largo plazo, sería razonable considerar solo los casos C-+ y +-C. Los resultados de los retornos se reflejan en la siguiente tabla:


De lo anterior podemos concluir que la mejor decisión de las 5 posibles es apostar el 25%. De hecho, este valor es el óptimo y coincide con la fracción de Kelly para un problema con las características dadas.

También hay otra conclusión importante. Si usamos un stake superior al adecuado para nuestros values en un sistema antimartingale perderemos dinero. En este caso, apostar exactamente más del 50% del bankroll conduce a la ruina en el largo plazo.

Sin embargo, va a ser imposible encontrar un value del 50% sistemáticamente, por lo que nuestras apuestas van a tener un stake muy inferior a ese 25% del bankroll total que es el óptimo aquí.

Análisis de decisión para estimar el stake de una apuesta

Obtener la cantidad óptima para arriesgar en las apuesta a realizar puede ser una tarea demasiado compleja. Cuando se abordan tareas demasiado complicadas, suele ser interesante descomponerlas en tareas más simples. Así que algún lector observador podría sugerir que lo anterior es lo mismo a emplear una cantidad óptima en UNA de las apuestas. Y no parece mala idea. Sabiendo hacer esto, con solo reproducirlo llegaríamos a la gestión óptima.

Primero deberíamos encontrar una apuesta con value. Suponemos que ésta es la parte fácil. También debemos de estimar su cuota correcta, determinar como es de grande el valor de dicha apuesta. Esto es algo que alguien con experiencia y echando mano de antecedentes y de su capacidad de valoración también podría hacer casi tan fácilmente como en el siguiente ejemplo:

Apuesta --> lanzamiento de moneda al aire
Proposición --> salir cara @3 / salir cruz @1,5

El jugador opina que dado que es igual de probable que salga cara o cruz, su probabilidad seria del 50%. Para llegar a esa conclusión ha lanzado una moneda en su casa 10.000 veces y ha ido apuntando las veces que salía cara y las veces que salía cruz; y el número de veces para cada opción ha resultado aproximadamente igual. Como la cuota es el inverso de la probabilidad:

Cuota justa = 1 / 50% = @2

Dado que la cuota del juego es mayor que la cuota justa, el apostador piensa que el oddsmaker no valoró bien el juego. Hay valor en la cuota y debería apostar. Pero no está seguro de cuánto... que fracción de bankroll debe apostar, ya que su bankroll es un recurso limitado y si se agota no hay más.

Estamos ante un problema de decisión, que se puede intentar abordar desde la óptica del análisis de decisiones.

En primer lugar deberíamos plantear cuál es el número de elecciones posibles. No son sólo 2 (apostar o no apostar). Existen múltiples posibilidades. Cada una representa a apostar una fracción de nuestro bankroll. Consideraré por simplificar 5 opciones. Si quisiéramos seguir optimizando se podría interpolar en un proceso iterativo o simplemente tomar más opciones.

Estas alternativas son:

• Apostar el 0% del bankroll o No-bet
• Apostar el 10% del bankroll
• Apostar el 25% del bankroll
• Apostar el 50% del bankroll
• Apostar el 100% del bankroll o All-in.

Y existen 2 estados de la naturaleza posible:

• Salir cara (probabilidad = 50%)
• Salir cruz (probabilidad = 50%)

Para este tipo de decisiones los 3 criterios más sencillos son:

• Criterio maximin o conservador: se elige aquella opción con mejor comportamiento en el caso de la naturaleza más desfavorable.
• Criterio de la posibilidad más probable: se elige aquella opción con mejor comportamiento en el caso más probable de la naturaleza.
• Criterio de Bayes o del Valor Esperado: consiste en ponderar el payoff en función de los casos posibles de la naturaleza y elegir la posibilidad con mejor esperanza matemática. Es el criterio más utilizado.

La aplicación de estos criterios para el caso favorable ("cara @3") se resume en esta tabla:


Y podemos observar que los resultados son poco concluyentes al utilizar estos criterios al uso. La que es la mejor elección utilizando un criterio, es la peor utilizando el otro. Y en el tercero y último no podemos tener solución significativa ya que no existe un caso de la naturaleza más probable. Es necesario realizar estudios más complejos (“algo tan sencillo no puede ser bueno”, como dijo alguien una vez). Si tuviera que tomar una decisión utilizando estos criterios tomaría como buena la del criterio de Bayes, que es el mejor de estos criterios para un caso normal. Pero nuestro sentido común nos dice que no deberíamos hacer esto.

Sin embargo, si hiciésemos este estudio para la apuesta contraria (“cruz @1,50”) sí que obtendríamos resultados más concluyentes.


En base a esto podríamos asegurar que si una apuesta no tiene valor, la mejor elección es el No-bet. Cualquier otra cosa nos tiende a conducir a resultados negativos y no existe NINGUNA estrategia de gestión que consiga que esto deje de ser así.

Esto no hace más que añadir dudas al análisis de la apuesta con value, ya que en el mundo real la toma de la decisión se realiza sobre la estimación, no sobre la probabilidad real, es decir, en incertidumbre. Por lo que no podemos asegurar que nos encontremos en el segundo caso, donde el All-in es la peor decisión. De todas formas, es posible arrojar más luz sobre este tema... La clave está en la indeterminación del "caso de la naturaleza más probable".

ver la solución correcta del problema