viernes, 7 de diciembre de 2007

La esperanza matemática (por Buzjss)

Como comenté en la última entrada me gustaría poner como post un email que se me mandó en su momento, en respuesta a una intervención mía anterior. El texto es amplio, demasiado amplio para un comentario, y para una única entrada. Y como mínimo igual de farragoso que el original mío, lo que prueba que contrariamente a lo que algunos piensan, alguien lee las entradas de carácter matemático. Lo cual me congratula y me invita a seguir utilizando ese estilo. Muy de vez en cuando, eso sí.

La entrada a la que Buzjs alude es ésta:
Los handicaps de enteros están favorecidos

Su visión es una vuelta de tuerca más al analizar la situación. Por supuesto me reservo el derecho a réplica durante y a la conclusión de su exposición.

Enlazando con este post en el blog de Anja, voy a añadir un poco más de información al respecto. Antes de empezar he de decir que la conclusión del post me parece correcta aunque no es generalizable a cualquier caso. Esto es lo que voy a intentar explicar en este post.

Esperanza Matemática - Valor Esperado:

El primer punto que vamos a tratar es el concepto de esperanza matemática, o simplemente esperanza, o valor esperado. Se define como esperanza matemática de una variable aleatoria a la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por el resultado del mismo. Este galimatías que a primera vista parece complicado resulta de gran utilidad en la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre como es el caso de las apuestas.



En un juego/apuesta este valor correspondería al beneficio medio esperado a largo plazo. Si el juego es justo, o lo que también se llama juego de suma total nula, el valor esperado o esperanza es igual a cero. Es decir, a la larga ni ganamos ni perdemos. Esto sería el caso de jugar a Over/Unders o handicaps con cuotas de 2.

Ejemplo: lanzamiento de una moneda.

Nuestro bookie nos ha colocado los siguientes eventos:

Cara @2
Cruz @2

P (cara) = P (cruz) = 50%

VE = Probabilidad de ganar x ganancias + Probabilidad de perder x perdidas = 50% x 1 + 50% x (-1) = 0

Si ganamos ganaremos el 50% de los casos 1 ud por unidad apostada, mientras que si perdemos perderemos el 50% de los casos la ud apostada.

Otro ejemplo: Lanzamiento de un dado de seis caras.

Cada cara tiene una probabilidad de salir de 1/6
Luego según la definición de Valor Esperado (VE):

P(sale el 1) =
P(sale el 2) = P(sale el 3) = P(sale el 4) = P(sale el 5) = P(sale el 6) = 1/6

VE = 1 · (1/6) + 2 · (1/6) + ... + 5 · (1/6) + 6 · (1/6)
= (1+2+3+4+5+6) / 6
= 3,5

Lamentablemente el valor 3,5 no corresponde a la cara de ningún dado. Este tipo de situaciones con variables discretas da lugar a muchos chistes del "ingeniero y el matemático".


El caso hipotético del juego de la moneda en la realidad no se da nunca, ya que el bookie para este tipo de eventos nos colocará cuotas siempre menores a 2. En este caso nuestra esperanza se transforma en:

Ganancias = Cuota - 1 = C-1
Perdidas = -1

VE = P (ganar) · (C-1) - P (perder)

En el caso de la moneda P (ganar) = P (perder) = P = 1/2 con lo que:

VE = 1/2 · (C-1) - 1/2
=(C/2) -1


Como hemos comentado, la cuota (C) siempre es menor que 2 con lo que el término entre paréntesis será menor que uno y nuestra esperanza de premio será NEGATIVA (suponiendo claro que el evento esté bien balanceado por el bookie). Lo que implica que a largo plazo perderemos P · (C-2) unidades por unidad apostada.




6 comentarios:

Anónimo dijo...

En teoría su nombre es buzjss ?

Buzjss dijo...

@Anonimo: Si, el nombre es Buzjss, pero Anja debia tener prisa y se comio una 's'.

@Anja: lo que has calculado es la media de resultados obtenidos al lanzar un dado. El VE sería la probabilidad de ganar x ganancias - la probabilidad de perder x perdidas. Suponiendo un bookie justo la cuota de ganar estaría a 6. con o que VE = 1/6 x (6-1) - 5/6 x 1 = 0. Como era de esperar.

Anja Ander: anjaander@gmail.com dijo...

Como diría Luis Aragonés... NO NO NO NO NO, castígueme usted, pero no me insulte!!

Quién dijo que jugar a un dado se pagase??? Yo he calculado el Valor Esperado aplicando LITERALMENTE tu definición. Así que no me cuentes películas!!

Anja Ander: anjaander@gmail.com dijo...

Y el nombre yo pongo el que me llega al correo, no es que tenga prisa (que la tengo).

Buzjss dijo...

El concepto de Valor Esperado o esperanza, se puede utilizar para lo que quieras, pero su principal utilidad en las apuestas o en la toma de decisiones es calcular la rentabilidad de una estrategia o decisión a largo plazo.

Como puedes ver aqui:

http://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matemática

Si utilizas como medible, el resultado del evento (en puntos o numero del dado) coincide con la media en los casos de sucesos equiprobables.
Este cálculo, como mucho, sería un cálculo para un bookie, que pondría una linea O/U en 3,5, porque espero que nadie se liase a apostar como un loco al 3,5 como resultado más probable de una tirada. Yo me inclinaría mejor por un lay al 3,5

Anónimo dijo...

luis aragones dice "NO NO NO NO, MÁTEME usted, pero no me insulte y tal !!