jueves, 7 de junio de 2007

Coherencia entre cuotas a campeón y a ganador de partido

La entrada de hoy es una de esas de las que en principio s��lo podr��n disfrutar aquellos con nociones matem��ticas, para empezar porque el lenguaje que utilizar�� ser�� la jerga universal de las matem��ticas. Pero como el razonamiento me parece ingenioso y sus resultados son pertinentes y divertidos, lo expongo.

El viernes se disputar��n las semifinales masculinas de Roland Garros. En las apuestas de Betfair disponemos de 2 apuestas principales: las de ganador de partido y las de ganador de torneo. Lo cierto es que utilizando ambas apuestas podremos determinar la estimaci��n que hace el mercado de la cuota futura de la final en cualquier caso. Esto es algo que en rondas anteriores no podr��amos hacer ya que las inc��gnitas crecer��an geom��tricamente.

Notaci��n:

F: Federer
Da: Davidenko
N: Nadal
Dj: Djokovic
P(XY): probabilidad de que el jugador X gane al jugador Y
P(X final): probabilidad de que el jugador X se clasifique para la final
P(X wins): probabilidad de que el jugador X gane el torneo
C(XY): cuota de que el jugador X gane al jugador Y (dato)
C(X wins): cuota de que el jugador X gane el torneo (dato)


Para el caso de Nadal, y utilizando las propiedades de probabilidad, teniendo en cuenta que cada partido es un suceso independiente y que la cuota es el inverso de la probabilidad:

1/C(N wins) = P(N wins)
= P(NDj) ��� [P(F final) ��� P(NF) + P(Da final) ��� P(NDa)]
= P(NDj) ��� [P(FDa) ��� P(NF) + P(DaF) ��� P(NDa)]
= 1/C(NDj) ��� [1/C(FDa) ��� P(NF) + 1/C(DaF) ��� P(NDa)]


Con lo que tenemos 2 inc��gnitas, la probabilidad de que Nadal gane a Federer en la final y la de que gane eventualmente a Davidenko. Pero si hacemos lo mismo para el resto de jugadores resulta:

1/C(N wins) = 1/C(NDj) ��� [1/C(FDa) ��� P(NF) + 1/C(DaF) ��� P(NDa)]
1/C(F wins) = 1/C(FDa) ��� [1/C(NDj) ��� P(FN) + 1/C(DjN) ��� P(FDj)]
1/C(Da wins) = 1/C(DaF) ��� [1/C(NDj) ��� P(DaN) + 1/C(DjN) ��� P(DaDj)]
1/C(Dj wins) = 1/C(DjN) ��� [1/C(FDa) ��� P(DjF) + 1/C(DaF) ��� P(DjDa)]

Pero como se cumple:

P(XY) + P(YX) = 1 {suceso seguro}

Podemos reducir a la mitad el n��mero de variables desconocidas y tenemos 4 ecuaciones y 4 inc��gnitas. Para resolverlo tomar�� las cuotas actuales de Betfair tanto para las semifinales como para ganador de torneo, que son juegos justos despreciando el efecto del centimeo. En todos los casos, el margen de las apuestas brutas en t��rminos de incremento de probabilidad (P*) est�� entre 100% y 101%.

C(NaD) = @1,11; y C(N wins) = @1,63
C (FDa) = @1,17; y C(F wins) = @2,94
C(DaF) = @6,6; y C(Da wins) = @34
C(DjN) = @9,8; y C(Dj wins) = @42


Se tiene:

1,11 /1,63 = [P(NF) /1,17 + P(NDa)/6,6]
1,17/2,94 = [(1���P(NF))/1,11 + P(FDj )/9,8]
6,6/34 = [(1���P(NDa))/1,11 + P(DaDj)/9,8]
9,8/42 = [(1���P(FDj)) /1,17 + (1���P(DaDj))/6,6]

La resoluci��n de este sistema no es ��nica, ya que existe una ecuaci��n linealmente dependiente con las otras 3, pero usando como condici��n de contorno que todas las inc��gnitas, por definici��n de probabilidad, se encuentran entre 0 y 1, es posible acotar las soluciones con significado matem��tico en estos intervalos:

P(NF) = 65-66%
P(NDa) = 82-88%
P(FDj) = 81-89%
P(DaDj) = 37-54%


Y como la cuota es la inversa a la probabilidad tenemos el intervalo de cuotas que actualmente estima el mercado para las 4 finales posibles:

@1,52-1,54 Nadal-Federer @2,85-2,92
@1,14-1,22 Nadal-Davidenko @5,55-8,14
@1,12-1,23 Federer- Djokovic @5,35-9,33
@1,85-2,70 Davidenko- Djokovic @1,59-2,15


2 comentarios:

Cristian dijo...

No he repasado los cálculos pero la respuesta a las preguntas que haces creo que son obvias.

Según tus cálculos, el mercado estima que Djokovic ganaría a Davydenko de forma clara, en el caso de una hipotética final entre ellos.

Pero en cambio dices que para ganador del torneo se paga más por Djokovic que por Davydenko.

Está claro pues que el mercado estima y así se puede ver por las cuotas que es más probable que Davydenko gane a Federer que no que Djokovic gane a Nadal.

No veo incongruencia en eso.

Anja Ander dijo...

Bueno. He resuelto el problema. Resulta que al meter la ecuación en el solver la resolvía casualmente cerca de la solución con significado físico, debido a los puntos que le metía yo para empezar a iterar. Dejando a la máquina empezando en el (1,1,1,1) daba soluciones negativas. Esto es porque el sistema es indeterminado (infinitas soluciones). Lo comprobé rapidamente haciendo a mano el método de sustitución. Pero lo dicho, vía excel dando valores, y aplicando las condiciones de contorno que me he "sacado de la manga", aunque son absolutamente correctas, he sacado los invervalos donde están las soluciones.

Dos detalles: sigo viendo la cosa balanceada hacia Djokovic contra el ruso, cuando estoy seguro de que Davidenko sería favorito (y más viéndole con Cañas). No me extrañaría de hecho que se cargase a Rogelio.

Como curiosidad matemática, la cuota a ganador de Djokovic se ve perjudicada al jugar contra Nadal en semis. En cambio Davidenko podría ganar el torneo sin tener que jugar contra Nadal, si el balcánico hiciese bueno su 9-10% de ganar a Nadal. Esto desinfla un poco su cuota a ganador.

Otro detalle es a ver como se ponen las cuotas después de mañana. Porque por la especulación pueden variar mucho de su valor actual (me refiero a la final potencial Fedex-Rafa, que son las cuotas futuras más exactas que tenemos).

De todas formas esto se queda un poco aparcado. La reflexión la haremos mañana, cuando se mueva el tema... Bueno mañana... Tengo cena, así que tal vez tarde un poco más!!