domingo, 27 de enero de 2008

Sucesiones matemáticas

Por el libro, una sucesión se define como una aplicación definida sobre los números naturales (1,2,3,...). Dicho así, la definición enciclopédica puede resultar un poco confusa. Dicho con palabras llanas, una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que se suceden siguiendo alguna lógica. Si alguien ha hecho en su vida algún test de inteligencia, está relacionado con los típicos juegos de adivinar el siguiente número.

Un ejemplo de sucesión sería este

X1 = 1
X2 = 3
X3 = 5
.....
siendo el término n-ésimo:
Xn = 2·n - 1

Esta sucesión representa a los números impares. A simple vista se puede ver que desde el punto de vista de la notación, la sucesión presenta una enorme ventaja. Permite expresar infinitos números en una expresión muy corta. En el caso del ejemplo anterior:

f(n) = 2·n - 1

Si sustituimos el término n por cualquier valor natural obtenemos automáticamente el término correspondiente de la sucesión. Como sucede con otras herramientas, como las matrices, la sucesión permite abreviar notablemente las expresiones y ahorrar en cálculos.

Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.

Las series numéricas son la suma de los términos de una sucesión y la materia más densa de la primera parte de la asignatura cálculo del primer curso de cualquier carrera técnica. Existen varios tipos de series en función de la naturaleza de la sucesión que las conforma, que pueden ser aritméticas, geométricas, basadas en funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etcétera... Pues calcular la suma de términos de las sucesiones es de aplicación para calcular el error máximo que obtenemos al realizar una operación por un método de cálculo numérico iterativo.

Bajaré a la tierra por un momento. Imaginemos esta sucesión, de tipo geométrico, definida de forma implícita:

Xn = X(n-1) / 2,
con X1=1
y donde X(n-1) es el término anterior a Xn

Cada término es la mitad del término anterior

Xn = 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128....

Se puede demostrar mediante la teoría de series que cada término es igual a la suma de todos los siguientes. Por lo tanto, si calculamos "a groso modo" una suma de números de este tipo sumando los términos uno a uno, podemos acotar el error que se produce, que puede ser todo lo pequeño que queramos a costa de invertir más tiempo sumando números. Si queremos que el error sea menor del 1% bastaría con sumar todos los términos hasta que llegar a un término inferior a 1/100, concretamente los 8 primeros del ejemplo expuesto. Esta es la forma concreta en la que "piensa" y resuelve los problemas complejos (integración, resolución de sistemas) una calculadora o un ordenador.

Imaginemos que le damos la vuelta a la sucesión y trabajamos con:

Xn = X(n-1) · 2
X1 = 1

Xn = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,....

Aquí, del mismo modo, cada término es igual a la suma de todos los números situados a la izquierda más el primer término. Por definición de sucesión cada término debe de ser inequívoco y por lo tanto el primer término debe de ser una constante. Si el primer término fuese infinitamente pequeño (infinitésimo), para los efectos sí que se daría como en el caso anterior que cada término es igual al caso anterior. Por tanto, si en un juego de apuestas en el que el payoff es igual al riesgo y la cantidad inicial es un número cualquiera de esta sucesión, si cada vez que perdiésemos volviésemos a jugar la cantidad del siguiente número de la sucesión hasta ganar, y suponiendo que no sufrimos una cantidad infinita de derrotas, nuestro beneficio sería siempre el mismo y exactamente igual a la primera cantidad apostada.

La principal aplicación de esto son los juegos. Nos encontramos ante un sistema de tipo martingale.


9 comentarios:

Anja Ander: anjaander@gmail.com dijo...

Si te fijas hay puntos suspensivos al comienzo de la sucesión. Esto quiere decir que el primer término de esa sucesión sería un infinitésimo.

Como ves, no hace falta repasarse el cálculo de primero, está todo muy clarito!!

Darius dijo...

En el campo de aplicación que nos interesaría, las apuestas, si vas haciendo martingale a cuotas mayor de 2 y al final aciertas a una cuota menor que 2 palmas fijo debido a que la suma de los n-1 términos anteriores son la pérdidas que llevas acumuladas y coincide con el término n, por tanto la única manera de ganar algo sería apostar siempre a cuota mayor estricto de 2.

El campo de aplicación de esta estrategia esta limitado al final a la ganancia del último término de la sucesión y dependerá siempre de la cuota que sea más o menos lejana a la cota inferior de 2.

Por ejemplo: Martingala definida por Xn = X(n-1) * 2, la típica del casino, doblar tu apuesta. Después de 9 picks para una sucesión martingala, no importan realmente éstos, sólo importa el último término el 10 y su cuota para ver que beneficio tenemos.

Si apostamos 1024 a @2,3 el benficio total al final de la martingala es +615,4. Si lo hacemos a @2 +1. Ni que decir que si lo hacemos a una cuota menor que 2 se palma.

Todo esto es para comentar, plantear, que la única posibilidad que le veo a esta estrategia es en eventos donde las posibles sorpresas estén a la orden del día. Yo personalmente no la uso pero creo que la martingala las tiene pero con esos matices.

¡Saludos!

Cuquero dijo...

Como no se donde ponerlo lo dejo aquí ¿alguién vió el reportaje en Informe Robinson sobre las apuestas deportivas? ¿Que os pareció a los que lo visteis?

djalminha dijo...

Superficial y muy cogido con pinzas cuquero. Es un reportaje de apenas 15 min en el que basicamente hablan del crecimiento que el mercado de apuestas online esta experimentando en los ultimos 5 años en españa.
Es interesante observar también como un hombre que con 20 euros llega a 17000 acaba por perder este pedazo de bankrroll en apenas 4 días, después de haberselo currado durante meses.....
(la ludopatia y demas.....)

Anónimo dijo...

A mi lo que me hizo gracia fue cuando salio una de las caras de Unibet creo recordar y dijo que ellos eran como un banco, que limitaban sus riesgos y por eso no dejaban apostar mas de 5000 euros por apuesta, lo que no sijo es que si ibas ganando esa cantidad bajaba

Anónimo dijo...

Me gustaría saber qué cantidad de manos/horas/datos es necesario o consideras haber jugado para empezar a saber si un sistema es válido, es un tipo martingala modificado, llevo 17 horas y media jugadas, a una velocidad media pero todo tiempo efectivo quitando todas las pausas. La cuestión es que empecé con una cantidad que daba por perdida en una casa de apuestas y me fue muy bien, tanto que probé en las otras casas de apuestas, y bueno, se puede decir que el resultado es inmejorable, estoy en un Yield de +546% en 15 dias entre todas las diferentes casas, y claro me han surgido las dudas tras un par de días realmente malos (ya había tenido malos, pero no tantos seguidos) y me hace pensar que quizás hasta ahora todo ha sido pura y auténtica suerte, lo consideras tú que esa cantidad de horas puede ser suerte, o crees que puedo seguir probando y si llego a tener tan solo +100 yield mejor retiro que es lo que tengo pensado.
En resumen pasé de 100 a 800 y ahora estoy en 646, para que tengas una referencia.

Un saludo

Anónimo dijo...

Perdón, no he dicho de que forma, es con el Blackjack a 6 u 8 barajas según casino.

Anja Ander: anjaander@gmail.com dijo...

Varias cosas. Los martingales no ayudan a ganar al blackjack. Lo que ayuda es contar las cartas. Si no tienes ninguna ventaja con el casino de ese tipo, no existe sistema que te vaya a ayudar.

El yield que das no es correcto, obviamente. Se puede calcular de forma convencional dividiendo la cantidad gananda globalmente entre LA SUMA de todo el dinero que has jugado.

Sobre lo que pides, se habla bastante en un post del blog relativo al Método Montecarlo. Pero no te molestes. La única posibilidad de que ganes a un casino online es que esté manipulado. Si no, sencillamente no es posible. Te aconsejo que retires todo lo ganado. Se puede decir más alto, pero no más claro.

Anónimo dijo...

Hombre, evidentemente tengo un método para el blackjack, uso la estrategia básica de 6 barajas, y si calculo el yield en base a lo que he ganado por sesion en referencia a lo que he puesto en riesgo de inicio (aunque no lo haya a llegado a poner en juego) me sale un yield de 4.71 % que es bastante más lógico.
Que mala es la avaricia, tengo que ver por mis propios ojos el "fatal" desenlace... he puesto una barrera de no ganancias (más alta de la que en un principio había puesto después de leer tu último post), si llego a ella saco toda la pasta.
Por cierto gran hoja excel la de la contabilidad de Tipster.